最优控制理论

  最优控制理论(optimal control theory)

最优控制理论概述

  最优控制理论是现代控制理论的一个主要分支,着重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。
  最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。它是现代控制理论的重要组成部分。这方面的开创性工作主要是由贝尔曼(R.E.Bellman)提出的动态规划和庞特里亚金等人提出的最大值原理。这方面的先期工作应该追溯到维纳(N.Wiener)等人奠基的控制论(Cybernetics)。1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文,第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念,为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。钱学森1954年所著的《工程控制论》(EngineeringCybernetics)直接促进了最优控制理论的发展和形成。

最优控制理论研究的内容

  最优控制理论所研究的问题可以概括为:对一个受控的动力学系统或运动过程,从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案,使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时,其性能指标值为最优。这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。
  例如,确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少,选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多,制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中老化指数、抚养指数和劳动力指数等为最优等,都是一些典型的最优控制问题。最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。苏联学者Л.С.庞特里亚金1958年提出的极大值原理和美国学者R.贝尔曼1956年提出的动态规划,对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。

解决最优控制问题的主要方法

  为了解决最优控制问题,必须建立描述受控运动过程的运动方程,给出控制变量的允许取值范围,指定运动过程的初始状态和目标状态,并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。通常,性能指标的好坏取决于所选择的控制函数和相应的运动状态。系统的运动状态受到运动方程的约束,而控制函数只能在允许的范围内选取。因此,从数学上看,确定最优控制问题可以表述为:在运动方程和允许控制范围的约束下,对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数(称为泛函)求取极值(极大值或极小值)。解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。
  一、古典变分法
  研究对泛函求极值的一种数学方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制,如方向舵只能在两个极限值范围内转动,电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此,古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题,是无能为力的。
  二、极大值原理
  极大值原理,是分析力学中哈密顿方法的推广。极大值原理的突出优点是可用于控制变量受限制的情况,能给出问题中最优控制所必须满足的条件。
  三、动态规划
  动态规划是数学规划的一种,同样可用于控制变量受限制的情况,是一种很适合于在计算机上进行计算的比较有效的方法。
  最优控制理论已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。

最优化技术

  最优控制的实现离不开最优化技术,最优化技术是研究和解决最优化问题的一门学科,它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优的方案。也就是说,最优化技术是研究和解决如何将最优化问题表示为数学模型以及如何根据数学模型尽快求出其最优解这两大问题。一般而言,用最优化方法解决实际工程问题可分为三步进行:
  ①根据所提出的最优化问题,建立最优化问题的数学模型,确定变量,列出约束条件和目标函数;
  ②对所建立的数学模型进行具体分析和研究,选择合适的最优化方法;
  ③根据最优化方法的算法列出程序框图和编写程序,用计算机求出最优解,并对算法的收敛性、通用性、简便性、计算效率及误差等作出评价。

最优化问题的基本求解方法

  所谓最优化问题,就是寻找一个最优控制方案或最优控制规律,使系统能最优地达到预期的目标。在最优化问题的数学模型建立后,主要问题是如何通过不同的求解方法解决寻优问题。一般而言,最优化方式有离线静态优化方式和在线动态优化方式,而最优化问题的求解方法大致可分为四类:
  1.解析法
  对于目标函数及约束条件具有简单而明确的数学表达式的最优化问题,通常可采用解析法来解决。其求解方法是先按照函数极值的必要条件,用数学分析方法求出其解析解,然后按照充分条件或问题的实际物理意义间接地确定最优解。
  2.数值解法(直接法)
  对于目标函数较为复杂或无明确的数学表达式或无法用解析法求解的最优化问题,通常可采用直接法来解决。直接法的基本思想,就是用直接搜索方法经过一系列的迭代以产生点的序列,使之逐步接近到最优点。直接法常常是根据经验或实验而得到的。
  3.解析与数值相结合的寻优方法
  4.网络最优化方法
  这种方法以网络图作为数学模型,用图论方法进行搜索的寻优方法。

优化方法的新进展

  1.在线优化方法
  基于对象数学模型的离线优化方法是一种理想化方法。这是因为尽管工业过程(对象)被设计得按一定的正常工况连续运行,但是环境的变动、触媒和设备的老化以及原料成分的变动等因素形成了对工业过程的扰动,因此原来设计的工况条件就不是最优的。
  解决此类问题的常见方法。
  (1)局部参数最优化和整体最优化设计方法
  局部参数最优化方法的基本思想是:按照参考模型和被控过程输出之差来调整控制器可调参数,使输出误差平方的积分达到最小。这样可使被控过程和参考模型尽快地精确一致。
  此外,静态最优与动态最优相结合,可变局部最优为整体最优。整体最优由总体目标函数体现。整体最优由两部分组成:一种是静态最优(或离线最优),它的目标函数在一段时间或一定范围内是不变的;另一种是动态最优(或在线最优),它是指整个工业过程的最优化。工业过程是一个动态过程,要让一个系统始终处于最优化状态,必须随时排除各种干扰,协调好各局部优化参数或各现场控制器,从而达到整个系统最优。
  (2)预测控制中的滚动优化算法
  预测控制,又称基于模型的控制(Model-based Control),是70年代后期兴起的一种新型优化控制算法。但它与通常的离散最优控制算法不同,不是采用一个不变的全局优化目标,而是采用滚动式的有限时域优化策略。这意味着优化过程不是一次离线进行,而是反复在线进行的。这种有限化目标的局部性使其在理想情况下只能得到全局的次优解,但其滚动实施,却能顾及由于模型失配、时变、干扰等引起的不确定性,及时进行弥补,始终把新的优化建立在实际的基础之上,使控制保持实际上的最优。这种启发式的滚动优化策略,兼顾了对未来充分长时间内的理想优化和实际存在的不确定性的影响。在复杂的工业环境中,这比建立在理想条件下的最优控制更加实际有效。
  预测控制的优化模式具有鲜明的特点:它的离散形式的有限优化目标及滚动推进的实施过程,使得在控制的全过程中实现动态优化,而在控制的每一步实现静态参数优化。用这种思路,可以处理更复杂的情况,例如有约束、多目标、非线性乃至非参数等。吸取规划中的分层思想,还可把目标按其重要性及类型分层,实施不同层次的优化。显然,可把大系统控制中分层决策的思想和人工智能方法引入预测控制,形成多层智能预测控制的模式。这种多层智能预测控制方法的,将克服单一模型的预测控制算法的不足,是当前研究的重要方向之一。
  (3)稳态递阶控制
  对复杂的大工业过程(对象)的控制常采用集散控制模式。这时计算机在线稳态优化常采用递阶控制结构。这种结构既有控制层又有优化层,而优化层是一个两级结构,由局部决策单元级和协调器组成。其优化进程是:各决策单元并行响应子过程优化,由上一级决策单元(协调器)协调各优化进程,各决策单元和协调器通过相互迭代找到最优解。这里必须提到波兰学者Findeisen等所作出的重要贡献。
  由于工业过程较精确的数学模型不易求得,而且工业过程(对象)往往呈非线性及慢时变性,因此波兰学者Findesien提出:优化算法中采用模型求得的解是开环优化解。在大工业过程在线稳态控制的设计阶段,开环解可以用来决定最优工作点。但在实际使用上,这个解未必能使工业过程处于最优工况,相反还会违反约束。他们提出的全新思想是:从实际过程提取关联变量的稳态信息,并反馈至上一层协调器(全局反馈)或局部决策单元(局部反馈),并用它修正基于模型求出的的最优解,使之接近真实最优解。
  (4)系统优化和参数估计的集成研究方法
  稳态递阶控制的难点是,实际过程的输入输出特性是未知的。波兰学者提出的反馈校正机制,得到的只能是一个次优解。但其主要缺点在于一般很难准确估计次优解偏离最优解的程度,而且次优解的次优程度往往依赖于初始点的选取。一个自然的想法是将优化和参数估计分开处理并交替进行,直到迭代收敛到一个解。这样计算机的在线优化控制就包括两部分任务:在粗模型(粗模型通常是能够得到的)基础上的优化和设定点下的修正模型。这种方法称为系统优化和参数估计的集成研究方法。 (Integrated System Optimizationand Parameter Estimation)
  2.智能

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